プラトン立体と呼ばれる正多面体についての面白さについての導入とオイラーの多面体定理について紹介しました。
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さて、実はまだ面白い特徴があります。
正多面体はいずれも球の中にすっぽり収まります。よく正多面体に接す円として、外接円や内接円に関する問題が数学のテキストなどに載っています。
これは、正多面体が中心から各頂点までの距離が等しいという特徴があるため、球に収まるのです。
また、もう一つの特徴としては、正多面体のそれぞれの面の中心を直線で結ぶと新たな立体が出来上がります。
正四面体を例に取ると、内部に上下逆の正四面体が現れます。
また、正六面体に関しては、内部に正八面体が出来上がります。このような関係を「双対」と言います。
正四面体については「自己双対」になります。
また、双対に関して、以下の点に着目すると、、、
外側⇨正六面体；６（面の数）、８（頂点の数）
内側⇨正八面体；８（面の数）、６（頂点の数）
というように、面の数と頂点の数が入れ替わることがわかります。
正多面体の各面の中心を結んで新たな立体を作ると、面の中心が新たな頂点になります。要は、元の立体の面の数が、新たに生まれる立体の頂点になるわけです。
上記のように面と頂点の数を書き表してみると、すぐわかりますね。
生活している中では気づかないかもしれませんが、立体には面白い性質があるんですね〜。
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